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Hallo an alle.
Ist mein erster Post hier und ich habe meine Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Also...Ich bin in der 13 und will in Mathe Abitur machen ( GK )

Momentan machen wir e-Funktionen und Logaritmusfunktionen ( Log.-Funktionen gestern erst angefangen )

( Ich lasse ein wenig Platz,wenn ich etwas mit ^ ( hoch...) angebe,damit man erkennt, das es normal ( nicht mehr hoch ) weitergeht )

Die Aufgabe:

f(x)=e^2x-1  -  e^x+1   Da sollen wir Nullstellen,Extrema und Wendestellen errechnen.

NST: 0=e^2x-1  -  e^x+1   |Faktorisieren
       0=e^x+1  *(e^x-2  -  1 )

Da e^x+1 nicht Null werden kann, beschränkten ( Achtung: Vergangenheitsform !!! ) wir uns auf den Klammerinhalt!!!

e^x-2  - 1=0  |+1
e^x-2      =1   | ln
x-2          =0   | +2
x             = 2             ==> NST (2|0)

So,ich hab gelernt,das es 3 Regeln für den Logarithmus gibt...daher haben wir das ganze auch Faktorisiert.
Regel 1: ln(x*y)=ln x + ln y
Regel 2: ln(x/y)=ln x - ln y
Regel 3: ln(x^r)=r * ln x
(Regel 4: man kann keinen logarithmus von + und - nehmen )

so,die ableitungen sind ja wie folgt ( kettenregel ):
f'(x)=2*e^2x-1  -  e^x+1
f''(x)=4*e^2x-1  -  e^x+1

nun zu den extrema:
Notwendiges Kriterium ist f'(x)=0 und das Hinreichende Kriterium f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0

wir haben das irgendwie vorgerechnet an der tafel ( und ich idiot habs nich mitgeschrieben... )
wir kamen auf das ergebnis  x=2+ln(1/2)

aber egal wie ich es rechne mit dem ln und rumprobiere,ich komme einfach nicht auf dieses ergebnis...habe es auch im unterricht schon nicht nachvollziehen können...
könnt ihr mich also vll korrigieren?

das hier habe ich gemacht:

Notw. Kriterium:   0=2*e^2x-1  -  e^x+1  |Faktorisieren
                        0=e^x+1  *(2*e^x-1   -1)
Hier kann das ausserhalb der Klammer auch nicht Null werden ( wie bei den NST ), deshalb auch hier nur der Klammerinhalt!!!

0=2*e^x-1  -1      |+1
1=2*e^x-1           |/2
1/2=e^x-1            | ln
ln(1/2) = ln(e^x-1)
-1       = x-1          |+1
x=0              ==>  Als mögliche Extremstelle...

kann mir nun also vll jemand verraten, wie man auf das Ergebnis aus dem Unterricht kommt? ( x=2+ln(1/2) )


danke danke danke...

( und vll auch ne kleine hilfe ( ich will es nicht gemacht bekommen,sondern selbst anwenden ) wie man an die wendestellen drangeht? oder ist das dann wie bei den Extrema? ( weil sich ja nur die 2 vor dem e zu einer 4 verwandelt , bzw in der 3. Ableitung zu 8 ))

Danke schonmal im voraus

der Fassili

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Hi,

wie ich das sehe, hast du nur einen simplen Abschreib- oder Rechenfehler. Und zwar in der Zeile

Notw. Kriterium:   0=2*e^2x-1  -  e^x+1  |Faktorisieren
                        0=e^x+1  *(2*e^x-2   -1)

Siehe oben bei den Nullstellen, da hast du es richtig.

Dann ergibt nämlich die Rechnung

1/2=e^x-2            | ln
ln(1/2) = ln(e^x-2)
ln(1/2)       = x-2  | +2
x = 2 + ln(1/2)

die gewünschte Formel.


Wendepunkte gehen ganz ähnlich wie Max/Min.
http://www.mathematik-wissen.de/wendepunkt.htm

Grüßle
Gnom

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Hallo Fassili!

Im Prinzip ist das auch alles richtig. Allerdings haben sich dort zwei Fehler eingeschlichen.
1. Beim Faktorisieren wird aus 2e^(2x-1)-e^(x+1) = e^(x+1)*(e^(x-2)-1)
sodass dann irgendwann steht: ln(1/2)=x-2 |+2
x = 2 + ln(1/2) (das Ergebnis, was Du rausbekommen wolltest)

2. ln(1/2) ist nich -1 sondern -0,693...

Und zur letzten Frage, ja. Zweite Ableitung Null setzen dürfte dann f"(x)=4e^(2x-1)-e^(x+1) sein, wieder faktorisieren. Kommt dann x = 2+ln(1/4) raus.

Ich hoffe, die Frage wurde wunschgemäß beantwortet. Bei weiteren Fragen und Wünschen einfach nicht zögern.

Gruß, Christian Franzki
Webmaster Mathematik-Wissen

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Oh, da hab ich mir wohl zuviel Zeit gelassen und DrGnom ist mir zuvor gekommen ... Danke auch an DrGnom. Wenigstens scheinen wir uns einig zu sein.

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Und genau deshalb schreibe ich in Matheklausuren immer nur 2- und 3en,weil sich kleine Fehlerchen einschleichen...grrr ^^

aber ich danke euch vielmals für eure mühen.dieses Forum und eure Site sind einfach unschlagbar...vielen vielen danke an euch beide !!!!

lg, fassili

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 11.12.2007 11:12 PM von fassili.

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ach,was ich noch wissen wollte...wieso ist ln(1/2) denn -0,639 und nicht -1?

greift da nicht die 2. Regel ( aus meinem ersten Beitrag )? also ln(x/y)=ln x - ln y

das wäre dann ja 1 - 2 und das ist doch -1?!

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@Franzki
Das ist doch viel wert, wenn wir das gleiche Ergebnis haben
Zudem hast du noch das mit dem Wendepunkt genauer erklärt, während ich nur deine Seite hingeklatscht hab


@ fassili
Ich glaube, du verwechselst den ln mit irgendwas. Deine allgemeine Umwandlung ist zwar korrekt, aber das Ausrechnen des ln leider nicht.

Denn ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = 0 - 0,639... = - 0,639

Falls du diesen Schritt nicht ganz nachvollziehen kannst, dann stell ihn dir vielleicht mit Hilfe der E-Funktion (als Umkehrfunktion) vor. Sprich, der Logarithmus ist die Spiegelung der E-Funktion an der ersten Winkelhalbierenden.

Bei der E-Funktion gibt es einen schönen Punkt, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist. Nämlich e^0 = 1. Dadrauf die Umkehrfunktion angewendet ergibt 0 = ln(1).
Der ln(2) .... ich glaube, da sind deine Lehrer gnädig genug, dich den Taschenrechner anwenden zu lassen.
Als Hinweis könnte man ja noch sagen: Du weißt vielleicht, dass e^1 irgendwas um die 2,7 ist. Dann kannst du schnell daraus lesen, dass der ln(2,7) irgendwas um die 1 herum ist. Folglich ist der ln(2) irgendwas zwischen 0 und 1.

Grüßle
Gnom

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achsooo...ja,ich hatte davor die Vektorenrechnung im Unterricht behandelt...da habe ich wahrscheinlich was verwechselt und mir das vereinfacht ^^

aber danke für die erklärung mit so ner tollen antwort kann ich bestimmt punkten im unterricht...einfach für das verständnis dieser Materie...danke dir ( euch ) vielmals...

ich empfehle euch auf jeden fall weiter und komm bestimmt noch n' paar mal auf euch "genies" zurück

lg,fassili


ps: und ja, mein lehrer ist sehr gnädig...in jeder klausur dürfen wir den TR benutzen...wobei man im kopf oft weniger fehler macht als im TR ( man denke an schnelle tippfehler oder man vergisst was und sieht es nicht...oO )

Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 12.12.2007 03:53 PM von fassili.